Konec Cobbovy-Douglasovy produkční funkce?

Elasticita substituce mezi kapitálem a prací je klíčovým parametrem vyjadřujícím, do jaké míry je možné nahradit jeden výrobní faktor za druhý. Hodnota elasticity substituce hraje důležitou roli v teorii ekonomického růstu i v analýzách, které jsou východiskem pro nastavení fiskální i měnové politiky. V literatuře se empirické odhady této elasticity výrazně liší. Ve vzorku více než 3 tisíc odhadů ze 121 studií se průměr všech odhadů elasticity nenachází daleko od hodnoty 1, kterou předpokládá tzv. Cobbova-Douglasova produkční funkce1 často využívaná v makroekonomických modelech. Tento průměr však může být dosti zkreslený, jak ukazujeme v našem výzkumném článku Death to the Cobb-Douglas Production Function? A Quantitative Survey of the Capital-Labor Substitution Elasticity. Ke zkreslení dochází z důvodu tzv. publikační selektivity (záměrně jsou publikovány studie s odhadem blízko hodnoty 1), ale také výběrem dat a metod při provádění odhadů. Průměrná elasticita očištěná o tato zkreslení klesá až na hodnotu 0,3, což je třikrát nižší hodnota, než je jednoduchý průměr všech odhadů. To znamená, že běžně používaná verze Cobbovy-Douglasovy produkční funkce neodpovídá realitě a není tak správnou reprezentací vztahů v ekonomii. 

Elasticita substituce mezi kapitálem a prací je důležitým parametrem při diskusích nad řadou ekonomických otázek. Na hodnotě elasticity závisí naše pochopení dlouhodobého hospodářského růstu (R. M. Solow, 1956) a jeho udržitelnost. Některé studie naznačují, že čím vyšší je elasticita, tedy čím jednodušší je nahradit jeden výrobní faktor za druhý, tím vyšší je příjem na obyvatele, a to v jakékoli fázi ekonomického vývoje (R. Klump a O. de La Grandville, 2000). Jiné studie poukazují na to, že nižší elasticita vede naopak k rychlejší konvergenci ekonomik (S. J. Turnovsky, 2002). Vysvětlení poklesu podílu práce na celkových příjmech v posledních desetiletích, které nabízí např. populární T. Piketty (2014), platí pouze tehdy, když elasticita převyšuje hodnotu 1. Kromě teorie hospodářského růstu je elasticita důležitým parametrem také při analýzách dopadů fiskálních politik, včetně vlivu zdanění společností na tvorbu kapitálu (R. S. Chirinko, 2002).

Hodnota elasticity může mít praktické dopady na rozhodování o měnové politice. Například v modelu používaném americkým Fedem2 (S. J. Erceg et al., 2008) je dopad změny měnové politiky na inflaci vyšší, pokud se předpokládá vyšší hodnota elasticity. Valná většina modelů však používá Cobbovu-Douglasovu formu produkční funkce, která implicitně předpokládá elasticitu rovnou 1. Pokud je však skutečná elasticita nižší, tyto modely nadhodnocují sílu měnové politiky a ve skutečnosti by měly implikovat silnější snižování úrokových sazeb v reakci na hospodářskou recesi a silnější zvyšování sazeb v reakci na hospodářskou expanzi.

I když je elasticita substituce jedním z klíčových parametrů v ekonomii, empirické odhady se výrazně liší jak v rámci jednotlivých studií, tak mezi nimi. K vyhodnocení rozsáhlé literatury a nalezení skutečné nezkreslené průměrné hodnoty jsme využili metodu tzv. metaanalýzy. Metaanalýza podává kvantitativní přehled dostupné literatury a v ekonomii se široce používá pro vysvětlení rozdílů ve výsledcích jednotlivých studií a zkoumání vzorců publikační selektivity. Shromáždili jsme 3 186 odhadů elasticity ze 121 studií, které poskytují v průměru hodnotu elasticity bez očištění 0,9. Hodnoty jsou však značně heterogenní a pohybují se většinou v rozmezí od 0 do 1,5 (Graf 1). Nenabízejí tak jasné vodítko pro kalibraci tohoto parametru v makroekonomických modelech.

Graf 1: Chybějící konsenzus o hodnotě elasticity v empirické literatuře
Graf 1 – náhled

(Otevřít celý graf v novém okně.)

Průměrný odhad v empirické literatuře je výrazně zkreslen publikační selektivitou (publikačním vychýlením) a výběrem dat a metody odhadu. Po korekci o publikační vychýlení se průměrná elasticita sníží na 0,5. Pokud průměrný odhad očistíme také o systematický vliv některých metod odhadu, dostáváme se až na hodnotu 0,3. K publikačnímu vychýlení může docházet, pokud různé odhady mají různou pravděpodobnost, že budou reportovány v závislosti na znaménku a statistické významnosti. Téměř všechny ekonometrické metody použité k odhadu elasticity přepokládají, že poměr odhadu k jeho směrodatné odchylce má symetrické rozdělení. Odhady a standardní chyby by tedy měly být nezávislé veličiny. Pokud jsou však statisticky významné kladné odhady preferenčně vybrány pro publikaci, budou velké standardní chyby (dané šumem v datech nebo nepřesností jednotlivých odhadů) asociovány s vysokými odhady. Tímto způsobem vznikne vychýlení průměrného odhadu směrem nahoru. Užitečnou analogii uvádí D. N. McCloskey a S. T. Ziliak (2019), kteří přirovnávají publikační vychýlení k Lombardovu efektu v biologii: mluvící jedinec v hlučném prostředí zvyšuje také svoji hlasitost ve snaze o zvýšení srozumitelnosti.

Trychtýřový Graf 2 poskytující grafické znázornění mechanismu popsaného v předchozím odstavci ukazuje, že záporné a nulové odhady v literatuře chybí. Vodorovná osa měří velikost odhadů elasticity a vertikální osa měří jejich přesnost. Při absenci publikačního vychýlení by měl bodový graf připomínat převrácený trychtýř: nejpřesnější odhady by měly ležet blízko skutečné střední hodnoty elasticity, nepřesné odhady by měly být rozptýleny a malé i velké nepřesné odhady se objeví se stejnou frekvencí. Náš graf ukazuje, že trychtýř je značně vychýlený: aby byl trychtýř symetrický, a tedy konzistentní s absencí publikační selektivity, měli bychom pozorovat mnohem více nepřesných záporných a nulových odhadů.

Graf 2: Publikační selektivita v literatuře
Graf 2: Publikační selektivita v literatuře / Figure 2: Publication bias in the literature

Cobbova-Douglasova produkční funkce, která uvažuje elasticitu substituce mezi prací a kapitálem o hodnotě 1, neodpovídá empirickým odhadům očištěným o publikační selektivitu a není tak správnou reprezentací ekonomických vztahů. Nejsme první, kdo vyzdvihují rozpor mezi Cobbovou-Douglasovou specifikací produkční funkce a empirickou literaturou. Také další studie naznačují, že používání Cobbovy-Douglasovy produkční funkce není dostatečně podloženo (R. S. Chirinko, 2008, a M. Knoblach et al., 2020). My však tvrdíme, že po očištění o publikační vychýlení jsou argumenty proti Cobbově-Douglasově specifikaci ještě silnější. Půlstoletí výzkumu ukazuje na jasný stylizovaný fakt: kapitál a práce jsou hrubými komplementy. To znamená, že kapitál a práce jsou užívány společně a nárůst ceny jednoho z výrobních faktorů (v tomto případě je cenou mzda nebo náklad na kapitál) způsobí pokles poptávky po obou výrobních faktorech.


Reference

Cobb, C. W. & P. H. Douglas (1928): "A Theory of Production." The American Economic Review, 18(1): s. 139-165.

Chirinko, R. S. (2002): "Corporate Taxation, Capital Formation, and the Substitution Elasticity between Labor and Capital." National Tax Journal 55(2): s. 339-355.

Chirinko, R. S. (2008): "σ: The Long and Short of it." Journal of Macroeconomics 30(2): s. 671-686.

Erceg, C. J., L. Guerrieri, & C. Gust (2008): "Trade Adjustment and the Composition of Trade." Journal of Economic Dynamics and Control 32(8): s. 2622-2650.

Karabarbounis, L. & B. Neiman (2013): "The Global Decline of the Labor Share." Quarterly Journal of Economics 129(1): s. 61-103.

Klump, R. & O. de La Grandville (2000): "Economic Growth and the Elasticity of Substitution: Two Theorems and Some Suggestions." American Economic Review 90(1): s. 282-291.

Knoblach, M., M. Rossler, & P. Zwerschke (2020): "The Elasticity of Substitution Between Capital and Labour in the US Economy: A Meta-Regression Analysis." Oxford Bulletin of Economic and Statistics 82(1): s. 62-82.

McCloskey, D. N. & S. T. Ziliak (2019): "What Quantitative Methods Should We Teach to Graduate Students? A Comment on Swann's 'Is Precise Econometrics an Illusion?'" Journal of Economic Education 50(4): s. 356-361.

Piketty, T. (2014): "Capital in the 21st Century." Cambridge, MA: Harvard University Press.

Solow, R. M. (1956): "A Contribution to the Theory of Economic Growth." Quarterly Journal of Economics 70(1): s. 65-94.

Turnovsky, S. J. (2002): "Intertemporal and Intratemporal Substitution, and the Speed of Convergence in the Neoclassical Growth Model." Journal of Economic Dynamics and Control 26(9-10): s. 1765-1785.


1 Produkční funkce vyjadřuje závislost mezi velikostí vstupů (např. práce a kapitál) a velikosti výstupu (HDP). Cobbova-Douglasova produkční funkce je díky své jednoduchosti nejčastěji používaným typem produkční funkce.

2 Pro ilustraci jsme zvolili model SIGMA amerického Fedu, protože jako jeden z mála modelů používaných centrálními bankami umožňuje různé hodnoty elasticity substituce.